GermanWikipedia - /page/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Seminumerischer Algorithmus</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Seminumerischer Algorithmus</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Seminumerische Algorithmen sind eine Kombination aus <a href="Numerik" class="mw-redirect" title="Numerik">numerischen</a> und <a href="Analytik" title="Analytik">analytischen</a> oder <a href="Algebra" title="Algebra">algebraischen</a> Verfahren in der <a href="Programmierung" title="Programmierung">Programmierung</a>. Seminumerische <a href="Algorithmus" title="Algorithmus">Algorithmen</a> sind meist gegenüber rein numerischen Verfahren genauer, erfordern jedoch oft einen höheren <a href="Implementierung" title="Implementierung">Implementierungsaufwand</a>, da Vorwissen über die numerischen Zusammenhänge in Bezug auf spezialisierte Anwendungen oder Anforderungen eingearbeitet wird, anstelle allgemeine Verfahren zu nutzen.

Weit verbreitetes Anwendungsgebiet seminumerischer Implementierungen sind z. B. auch <a href="Computeralgebrasystem" title="Computeralgebrasystem">Computeralgebrasysteme</a>, da mit ihnen auf elegante Weise numerische wie auch algebraische Verfahren kombiniert werden können.

Die Problematik der numerischen Berechnung aufeinanderfolgender kontinuierlich bis unstetig wirkende Übertragungssysteme in Verbindung mit logischen Entscheidungsfunktionen hat es in der Systemtheorie, der Steuerungstechnik und Regelungstechnik schon immer gegeben.

Es geht um zu berechnende mathematische Modelle von zusammenhängenden Übertragungssystemen, die zum Teil mit Differenzialgleichungen beschrieben werden können und um solche, die algebraisch oder mit logischen Anweisungen definiert werden müssen.

In der deutschsprachlichen Fachliteratur ist der Begriff der „Seminumerischen Algorithmen“ spärlich behandelt. In den Medien sind Abhandlungen über sehr spezielle Anwendungen veröffentlicht, die nur von „Experten“ verstanden werden können.

Dieser Artikel behandelt eine Konfiguration verschiedenartiger zusammenhängender dynamischer und statischer <a href="%C3%9Cbertragungssystem" title="Übertragungssystem">Übertragungssysteme</a>, die numerisch berechnet werden sollen.

Ein typisches Praxisbeispiel eines seminumerischen Gesamtmodells mit einem Totzeitsystem und mehreren in Reihe liegenden Verzögerungsgliedern (PT1-Gliedern) erklärt die Zusammenhänge.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Grundlagen_seminumerischer_Algorithmen">Grundlagen seminumerischer Algorithmen</h2></div>

Eine <a href="Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung" title="Gewöhnliche Differentialgleichung">gewöhnliche Differenzialgleichung</a> (DGL) kann das Verhalten eines dynamischen Systems vollständig beschreiben. Nicht alle DGL-en sind auf konventionellem Wege einfach zu lösen. Abhilfe bieten die numerischen Verfahren, welche anstelle der kontinuierlichen Funktion der Systemausgangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/397de1edef5bf2ee15c020f325d7d781a3aa7f50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.804ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(t)}" loading="lazy"> eine <a href="Diskrete_Mathematik" title="Diskrete Mathematik">diskrete</a> Lösung in Form von nummerierten Folgegliedern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b2ab0248723a410cc2c67ce06ad5c043dcbb933.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.228ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k}}" loading="lazy"> (Stützstellen) darstellen.

Die numerische Behandlung verschiedenster Übertragungssysteme stellt sich als tabellarisch geordnete <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a> in Form einer gewählten endlichen Anzahl von nummerierten Folgengliedern dar. Meist interessiert die Systemsprungantwort der Ausgangsgröße y(t) des Gesamtsystems, wobei die verschiedenen Einzelsysteme sich auf die gemeinsame Nummerierung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=[0,1,2,3,\dotsc ,k_{\text{max}}]}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=[0,1,2,3,\dotsc ,k_{\text{max}}]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7dfbb7225598aae4c29cf213d8960aa4fdc252e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.036ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle k=[0,1,2,3,\dotsc ,k_{\text{max}}]}" loading="lazy"> der diskreten unabhängigen Variable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d2b88c64c76a03611549fb9b4cf4ed060b56002.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.418ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{k}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79a3574d49db62b5bb645a1cedf19c19d342eb24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.928ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{k}}" loading="lazy"> beziehen.

Die lineare Systemeigenschaft existiert in der Praxis häufig nicht, da viele zusammenwirkende Systeme z. B. in der Regelungs- und Steuerungstechnik bei Ventilkennlinien, Stellgrößenbegrenzungen oder Schaltvorgängen keine Linearität aufweisen. Ein <a href="Totzeit_(Regelungstechnik)" title="Totzeit (Regelungstechnik)">Totzeitsystem</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{t}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8e8402d1ca8a7b2544de9e83db1c7580d80f6b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.184ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{t}}" loading="lazy"> ist wohl ein lineares System, es kann aber nicht durch eine DGL beschrieben werden. Für nichtlineare statische Systeme, die sich nicht durch Gleichungen beschreiben lassen, gelten Tabellenwerte, die sich mit anderen Systemen auf gleiche nummerierte Folgeglieder beziehen.

Für die Berechnung eines technischen Problems können die einzelnen Lösungsschritte wie folgt aussehen:

<ul><li>Klärung des physikalischen Problems,</li>

<li>Mathematische Einzelmodelle festlegen,</li>

<li>Numerische Beschreibung der einzelnen Übertragungsmodelle,</li>

<li>Numerisches Verfahren festlegen: <a href="Einschrittverfahren" title="Einschrittverfahren">Einschrittverfahren</a>, <a href="Mehrschrittverfahren" title="Mehrschrittverfahren">Mehrschrittverfahren</a>, und andere,</li>

<li>Algorithmen für gemischte Systeme festlegen: (Algorithmen sind Anweisungen, wie und in welcher Reihenfolge ein (mathematisches) Problem zu lösen ist).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_Systembegriff">Definition Systembegriff</h3></div>

<ul><li><a href="System" title="System">System</a>: Aus mehreren Teilen zusammengesetztes Ganzes.</li>

<li><a href="Systemtheorie" title="Systemtheorie">Systemtheorie</a>: Analyse von Strukturen, Dynamik und Funktionen. Abstrakte mathematisch Modelle mit Ein- und Ausgangssignalen beschreiben in der Systemtheorie das Systemverhalten verschiedenartigster dynamischer Systeme bei gegebenen Anfangszuständen völlig unabhängig von technologischen Details.<a href="#cite_note-1">[1]</a></li>

<li><a href="Systemeigenschaften" class="mw-redirect" title="Systemeigenschaften">Systemeigenschaften</a>: Eigenschaften, die für das System charakteristisch sind.</li>

<li>Systemstruktur: Gesamtheit der Elemente eines Systems.</li>

<li><a href="Dynamisches_System" title="Dynamisches System">Dynamisches System</a>: Es ist eine abgegrenzte zeitabhängige Funktionseinheit, die durch ihre Signaleingänge und Signalausgänge in einer Wechselwirkung mit der <a href="Umwelt" title="Umwelt">Umwelt</a> steht. Die Wirkung des Eingangssignals mit dem Systemverhalten und dem Systemzustand kann sich auf das Systemausgangssignal überlagern.</li>

<li><a href="%C3%9Cbertragungssystem" title="Übertragungssystem">Übertragungssystem</a>: System mit mindestens einem oder mehreren Signaleingängen und einem oder mehreren Signalausgängen. Es kann sich zeitabhängig oder zeitunabhängig verhalten.</li>

<li><a href="%C3%9Cbertragungsfunktion" title="Übertragungsfunktion">Übertragungsfunktion</a>: Laplace-transformierte lineare Differenzialgleichung, deren Ableitungen durch die unabhängige Variable s ersetzt wird.</li>

<li>Statisches System (signaltechnisch): Jedes Ausgangssignal ist ohne Zeitverhalten unmittelbar vom Eingangssignal abhängig.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Numerische_Verfahren">Numerische Verfahren</h3></div>

Differenzengleichungen als einfachstes Verfahren der Numerik werden zur numerischen Berechnung in vielen wissenschaftlichen Disziplinen – wie Wirtschaft, Medizin, Technik, Elektrotechnik, Regelungstechnik, Kybernetik, Informatik, Akustik und andere – eingesetzt. Sie gehören zu den Einschrittverfahren.

Eine Differenzengleichung steht in enger Beziehung zu einer DGL. Die Differenzengleichung einer Verzögerungsfunktion einfacher und höherer Ordnung entsteht z. B., wenn der Differenzialquotient einer zu berechnenden DGL durch einen Differenzenquotient ausgetauscht wird. Durch diesen Vorgang entsteht automatisch das <a href="Rekursion" title="Rekursion">rekursive</a> Verhalten der Differenzengleichung, bei der sich je nach Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> jedes aktuelle Folgeglied <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b2ab0248723a410cc2c67ce06ad5c043dcbb933.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.228ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k}}" loading="lazy"> sich auf ein oder mehrere zurückliegende Folgeglieder bezieht.

Eine Differenzengleichungen höherer Ordnung verknüpft die Werte der Ausgangsfolgen entsprechend der Ordnung an zwei, drei oder mehreren zurückliegenden Zeitpunkten:

<dl><dd>Rekursion: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k}=f(y_{k-1},y_{k-2},y_{k-3},\dots )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}=f(y_{k-1},y_{k-2},y_{k-3},\dots )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e618d4ae4b16c38160cf6225f34759ba363e68cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.225ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y_{k}=f(y_{k-1},y_{k-2},y_{k-3},\dots )}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Zahl der Wertefolgen bestimmt die Schrittweite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> und die Endgröße der unabhängigen Variable bei zeitabhängigen Systemen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{max}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{max}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f1d66e1d5b0aac57e26d6858f4e4fe9e5379e7f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.324ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{max}}" loading="lazy">.

<mtext>Anzahl der Folgen</mtext>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{Anzahl der Folgen}}={\frac {t_{\text{max}}}{h}}+1.\qquad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68f40380a2af5b2374aceb5f73388d90d5c10883.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:35.742ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\text{Anzahl der Folgen}}={\frac {t_{\text{max}}}{h}}+1.\qquad }" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{\text{max}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{\text{max}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4a6e1cee49621c7f43b3340b9b67a72a7260fba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.131ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{\text{max}}}" loading="lazy"> ist der Darstellungszeitraum, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h=}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h=}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d97dcaaecba82d9547e06895d79a57549b6e470e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.792ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h=}" loading="lazy"> Schrittweite.</dd></dl>

Neben dem einfachen numerischen Verfahren mit Differenzengleichungen (<a href="Einschrittverfahren" title="Einschrittverfahren">Einschrittverfahren</a>) stehen auch andere aufwendigere Verfahren (z. B. <a href="Mehrschrittverfahren" title="Mehrschrittverfahren">Mehrschrittverfahren</a>) zur besseren Approximation an den analytischen Verlauf einer Funktion zur Verfügung. Dazu gehören z. B. das Trapezflächenverfahrens (<a href="Heun-Verfahren" title="Heun-Verfahren">Heun-Verfahren</a>), <a href="Runge-Kutta-Verfahren" title="Runge-Kutta-Verfahren">Runge-Kutta-Verfahren</a>, das Mehrschrittverfahren (Adams-Bashforth-Verfahren) und andere. Grund der aufwendigen Approximationsverfahren ist die erzielbare höhere Genauigkeit und damit erhebliche Reduzierung der Anzahl der Folgeglieder.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

<ul><li>Bei in Reihe liegenden Übertragungssystemen ist die Ausgangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b2ab0248723a410cc2c67ce06ad5c043dcbb933.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.228ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k}}" loading="lazy"> die Eingangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9837644700489d04d977da272524cd5fda36f3d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.418ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{k}}" loading="lazy"> des nachfolgenden Systems. Es handelt sich dabei um eine Multiplikation der Einzelsysteme.</li>

<li>Bei parallelwirkenden Übertragungssystemen werden die Ausgangsgrößen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b2ab0248723a410cc2c67ce06ad5c043dcbb933.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.228ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k}}" loading="lazy"> gleicher Folgeglieder addiert.<a href="#cite_note-3">[3]</a></li></ul>

<ul><li>Die numerische Berechnung dynamischer und statischer Systeme kann mit jeder Programmiersprache durchgeführt werden.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Differenzengleichungen_für_dynamische_Übertragungssysteme">Differenzengleichungen für dynamische Übertragungssysteme</h3></div>

Dynamische Systeme werden mit DGL-en beschrieben. Werden die Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt, entsteht eine Differenzengleichung, die leicht gelöst werden kann.

Unterschieden wird die Entstehungsweise der Differenzengleichungen durch den Vorwärts- und Rückwärts-Differenzenquotienten, die beide je nach Anwendung Vorteile haben. Differenzengleichungen nach der Rückwärtsdifferenz berechnen Folgewerte um eine Folge früher.

Die Differenzengleichungen der Methode Rückwärts-Differenz berechnen die Modelle der dynamischen Übertragungsglieder bei Reihenstruktur und dem Anfangswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43acc10cd5326096934018576eb39752e5e391f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.127ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(0)}" loading="lazy"> immer je nach Größe der Schrittweite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> immer einen kleinen Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(0)>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(0)>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84d37df02be1b218d6a0047e81c161151a9d4b9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.388ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(0)>0}" loading="lazy">, der bei kleiner Schrittweite vernachlässigbar ist.

Die Differenzengleichungen der Methode Vorwärts-Differenz berechnen die Modelle der dynamischen Übertragungsglieder bei Reihenstruktur und dem Anfangswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43acc10cd5326096934018576eb39752e5e391f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.127ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(0)}" loading="lazy"> immer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(k=0)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(k=0)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6134c31680dbd2b331db8fdde384c5b2e307684.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.698ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(k=0)=0}" loading="lazy">. Dies führt z. B. bei 4 hintereinander geschalteten Verzögerungsgliedern dazu, dass bei 4 Systemen das 4. System nach 4 Folgen immer noch für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(k=4)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(k=4)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1800db4cd4adeab90e6190a5fcc33130ce091dd1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.437ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(k=4)}" loading="lazy"> einen Wert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(0)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(0)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/343c32f38bb379b4b208477b130d8f522d3f0788.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.388ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(0)=0}" loading="lazy"> aufweist, was nachteilig ist.

Die Folgebezeichnungen der Systemausgangsgrößen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b2ab0248723a410cc2c67ce06ad5c043dcbb933.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.228ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k+1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k+1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/368c7c885cd0e521cc2653c0d041299b42eacdaa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.328ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k+1}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k-1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84cdc83a28249794a7c4152186059b6ba953455d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.328ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k-1}}" loading="lazy"> sind relative Begriffe der Nummerierung. Sie haben erst eine absolute Bedeutung, wenn die Folge des ersten Folgegliedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k=0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k=0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/632feca15070e7ad4388148689b08bf7e279094c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.328ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k=0}}" loading="lazy"> der Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0=k_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0=k_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4738b8f631af3a0db2998da5fce2af7e2d09fac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.836ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k=0=k_{0}}" loading="lazy"> der Differenzengleichung mit der Ausgangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b2ab0248723a410cc2c67ce06ad5c043dcbb933.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.228ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k}}" loading="lazy"> zugeordnet wird.

Differenzengleichung nach der Vorwärts-Differenz:

Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6307c8a99dad7d0bcb712352ae0a748bd99a038b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=0}" loading="lazy"> ist der 1. Folgewert ein Anfangswert. Die nächste Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k+1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k+1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/368c7c885cd0e521cc2653c0d041299b42eacdaa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.328ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k+1}}" loading="lazy"> ist der 1. berechnete Wert der Ausgangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k=1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k=1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01e2a42c855c2e0343fba57532eae88f5320d8f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.328ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k=1}}" loading="lazy">.

Differenzengleichung nach der Rückwärts-Differenz:

Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6307c8a99dad7d0bcb712352ae0a748bd99a038b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=0}" loading="lazy"> berechnen die Differenzengleichungen für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d943dbbb0b56ca750c4d62c5b54b4ae29a773da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.193ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{0}}" loading="lazy"> immer je nach Größe der Schrittweite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> einen kleinen Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{0}>0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{0}>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98cef29bae14fa081461fea332d36ee27d458d7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.454ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{0}>0}" loading="lazy">.

Dynamische Systeme werden mit DGL-en oder Übertragungsfunktionen exakt beschrieben. Die analytische Lösung einer DGL bezieht sich auf eine unendlich hohe Auflösung, die mit einer numerischen Lösung nicht erreicht werden kann.

Die numerische Lösung bei dynamischen Systemen ist immer eine Annäherung an die <a href="Analytische_Funktion" title="Analytische Funktion">analytische Funktion</a>. Mit kleiner werdender Schrittweite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> steigt linear die Genauigkeit der berechneten Folgeglieder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k}(x_{k})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}(x_{k})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2b4f13df9d42fe9d5673a743fed18a5afb87f33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.456ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y_{k}(x_{k})}" loading="lazy"> und damit die Zahl der Folgeglieder. Zur Erzielung einer großen Genauigkeit der Folgeglieder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k}(x_{k})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}(x_{k})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2b4f13df9d42fe9d5673a743fed18a5afb87f33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.456ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y_{k}(x_{k})}" loading="lazy"> kann die Zahl der Folgeglieder nicht beliebig hoch betrieben werden, weil sich je nach Rechengenauigkeit des Computers unvermeidbare <a href="Rundungsfehler" title="Rundungsfehler">Rundungsfehler</a> zu jedem Folgeglied aufaddieren können.

Dynamische Übertragungssysteme als Übertragungsfunktionen G(s) 1. und höherer Ordnung lassen sich mit sogenannten Laplace-Transformationstafeln lösen. Bereits die Lösung von Übertragungsfunktionen 2. Ordnung erfordern gute Kenntnisse mit e-Funktionen und trigonometrischen Funktionen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Exponentielles_und_arithmetisches_Folgeverhalten_numerischer_Berechnungen">Exponentielles und arithmetisches Folgeverhalten numerischer Berechnungen</h3></div>

Das rekursive Verhalten eines dynamischen Systems bestimmter Ordnung, d. h. der Bezug einer zu berechnenden Wertefolge auf eine zurückliegende Folge, ist nicht für alle dynamischen Systeme gleich. Die Folgen unterscheiden sich bei Übertragungssystemen wie folgt:

<ul><li>Bei der arithmetischen Folge wächst oder fällt jedes Folgeglied um einen festen Betrag. (Beispiel: Sparschwein)</li>

<li>Bei der exponentiellen Folge wächst oder fällt jedes Folgeglied um einen relativen Anteil. (Beispiel: Verzögerungssysteme, Zinseszins)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Exponentielle_Folge">Exponentielle Folge</h4></div>

Für alle Formen von dynamischen Verzögerungssystemen beliebiger Ordnung gilt die diskrete exponentielle Folge. Nur das Integrationsglied (I-Glied) 1. O. bildet eine Ausnahme.

Die Berechnung dieser Gruppe der Verzögerungssysteme bedeutet immer nur eine Annäherung an die analytische Funktion.

Übertragungssysteme, die nicht mit DGL-en beschrieben werden, aber zeitabhängig sind, wie die bekannten Aufgabenstellungen, z. B. „Zinseszins“, „Bevölkerungswachstum“, „Flüssigkeitszufluss -Abfluss in Behältern“ und andere. Hierbei gilt eine feste Auflösung der Zeit wie [s], [Std], [Jahre], deren Anzahl der Zeitfolgen durch die Aufgabenstellung festgelegt ist. Die Anzahl der Zeitfolgen bestimmt die Schrittweite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy">. Diese Wertefolgen der Ausgangsgröße verhalten sich exponentiell.

Da zwischen diesen Wertefolgen keine höheren Auflösungen existieren, sind diese Berechnungen exakt genau.

Typische exponentielle Form der Differenzengleichung:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mtext>Anfangswert</mtext>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mtext>Konstante</mtext>

</mrow>

<mtext>Schrittweite</mtext>

</mrow>

<mtext>Laufzeit [Jahre]</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k+1}=y_{k}\pm y_{k}\cdot C\cdot h.\qquad y_{k=0}={\text{Anfangswert}}\ y_{0},\quad C={\text{Konstante}}\ \neq \ 0,\quad h={\text{Schrittweite}}\ z.B.\ {\text{Laufzeit [Jahre]}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3994bbb28cac16a3283eb69902df935247d58de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:115.853ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y_{k+1}=y_{k}\pm y_{k}\cdot C\cdot h.\qquad y_{k=0}={\text{Anfangswert}}\ y_{0},\quad C={\text{Konstante}}\ \neq \ 0,\quad h={\text{Schrittweite}}\ z.B.\ {\text{Laufzeit [Jahre]}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Arithmetische_Folge">Arithmetische Folge</h4></div>

Das Sammeln von Ereignissen entspricht einer arithmetischen Folge, z. B. das Sparschwein.

Das zu den verzögernden dynamischen Übertragungsgliedern gehörende Integrationsglied (I-Glied) verhält sich proportional der diskreten Zeitfolge. Dieses Systemverhalten entspricht der arithmetischen Folge (keine Rekursionsgleichung). Siehe nachfolgendes Berechnungsbeispiel der Bildung einer Differenzengleichung des I-Gliedes.

Typische arithmetische Form der Differenzengleichung:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mtext>Konstante</mtext>

</mrow>

<mtext>Schrittweite</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k+1}=y_{k}\pm C\cdot h.\qquad C={\text{Konstante}}\ \neq \ 0,\quad h={\text{Schrittweite}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ed1ba74a70c67063d889d439ea7e64ede7c2262.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:63.795ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle y_{k+1}=y_{k}\pm C\cdot h.\qquad C={\text{Konstante}}\ \neq \ 0,\quad h={\text{Schrittweite}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel_der_Darstellung_einer_Differenzengleichung_eines_Integrationsgliedes_(I-Glied)">Beispiel der Darstellung einer Differenzengleichung eines Integrationsgliedes (I-Glied)</h3></div>

Übertragungsfunktion des I-Gliedes:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)={\frac {K_{I}}{s}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/951d156942e00f170a20d1d5a92d80914e920d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.487ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)={\frac {K_{I}}{s}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Differenzialgleichung des I-Gliedes:

Mittels der inversen Laplace-Transformation entsteht die DGL aus der Übertragungsfunktion.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'(t)=K_{I}\cdot u(t).\qquad K_{I}={\frac {1}{T_{I}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e219d386965b2f53f7137c8d50dfb746d5859c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:31.35ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle y'(t)=K_{I}\cdot u(t).\qquad K_{I}={\frac {1}{T_{I}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Der Vorwärts-Differenzenquotient lautet:

<msup>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mtext>Schrittweite</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'(t)={\frac {dy}{dt}}\approx {\frac {\Delta y}{\Delta t}}:={\frac {y_{k+1}-y_{k}}{h}}.\qquad {\text{Schrittweite}}\ h=\Delta t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2231ffb5855f04a75bd8e70ddd915acb4f590f18.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:57.557ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle y'(t)={\frac {dy}{dt}}\approx {\frac {\Delta y}{\Delta t}}:={\frac {y_{k+1}-y_{k}}{h}}.\qquad {\text{Schrittweite}}\ h=\Delta t}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Differenzengleichung nach dem Vorwärts-Differenzenquotienten lautet:

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{h}}=K_{I}\cdot u_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d06a66678398f98e2c98cb622fd88298e4d7724e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:20.463ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{h}}=K_{I}\cdot u_{k}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Differenzengleichung wird nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k+1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k+1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/368c7c885cd0e521cc2653c0d041299b42eacdaa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.328ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k+1}}" loading="lazy"> freigestellt:<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+u_{k}\cdot K_{I}\cdot h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13d4659ff3c84abd7fcfbc24a920f87c00903d54.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.645ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+u_{k}\cdot K_{I}\cdot h}" loading="lazy">

</th></tr></tbody></table>

Das Verhalten des I-Gliedes für einen Eingangssprung über alle Folgen ist linear und nicht rekursiv. Es handelt sich hier um eine Werte-Zunahme von arithmetischen Folgen, d. h. die Differenz zweier aufeinander liegenden Folgen ist immer konstant.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Numerische_Berechnung_dynamischer_Systeme_mit_Differenzialgleichungen_zweiter_und_höherer_Ordnung">Numerische Berechnung dynamischer Systeme mit Differenzialgleichungen zweiter und höherer Ordnung</h2></div>

Folgende Verfahren zur Lösung von dynamischen Systemen mit konjugiert komplexen Polen sind bekannt:

<ul><li>Lösung einer DGL 2. O. mit einem Modellregelkreis</li>

<li>Lösung einer DGL höherer Ordnung mit Differenzenquotienten 2. Ordnung</li>

<li>Lösung einer DGL höherer Ordnung mit Zustandsvariablen</li></ul>

<dl><dd>Sie lassen sich auch leicht nach dem den Signalflussplan der Regelungsnormalform des <a href="Zustandsraumdarstellung" title="Zustandsraumdarstellung">Zustandsraumes</a> lösen.</dd></dl>

Anmerkung: Die beiden <a href="Graph" class="mw-disambig" title="Graph">Graphen</a> sind optisch deckungsgleich, wenn an Stelle der Schrittweite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h=0{,}05}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h=0{,}05}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d9fa54f615c67d60b6fd1f0d804a34acd9bfb50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.572ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h=0{,}05}" loading="lazy"> die Schrittweite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\leq 0{,}01}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\leq 0{,}01}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a28326ac593aa0cc9a25f1720467449461459f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.572ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h\leq 0{,}01}" loading="lazy"> gewählt wird.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \to }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1daab843254cfcb23a643070cf93f3badc4fbbbd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \to }" loading="lazy"> siehe auch Artikel <a href="Differenzengleichung_(Differenzenverfahren)" title="Differenzengleichung (Differenzenverfahren)">Differenzengleichung (Differenzenverfahren)</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition_wichtiger_seminumerischer_Einzelsysteme">Definition wichtiger seminumerischer Einzelsysteme</h2></div>

Die tabellarische Verbindung der verschiedenen Systeme untereinander sind die diskreten Folgen (Stützstellen). Die Ausgangsgrößen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b2ab0248723a410cc2c67ce06ad5c043dcbb933.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.228ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k}}" loading="lazy"> eines Einzelsystems sind die Eingangsgrößen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9837644700489d04d977da272524cd5fda36f3d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.418ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{k}}" loading="lazy"> des nachfolgenden Systems.

Bei hintereinander liegenden dynamischen und statischen Übertragungsgliedern startet jedes System bei der Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6307c8a99dad7d0bcb712352ae0a748bd99a038b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=0}" loading="lazy"> mit der zugehörigen numerischen Gleichung.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="In_der_Technik_häufig_auftretender_Verbund_linearer_und_nichtlinearer_Systeme">In der Technik häufig auftretender Verbund linearer und nichtlinearer Systeme</h3></div>

<th>Dynamisches System Differenzialgleichung</th>

<th>Begrenzungseffekte Signalsprünge</th>

<th>Nichtlineares System Tabelle</th>

<th>Systemtotzeit (Lineares System)

</th></tr>

<tr>

<td>Beispiel: DGL 1. O. des PT1-Gliedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'(t)={\frac {K_{PT1}\cdot u(t)-y(t)}{T_{1}}}}">

<msup>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'(t)={\frac {K_{PT1}\cdot u(t)-y(t)}{T_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b1a51d35072730725c7f8d3d94b525c6ed6a5ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:26.15ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle y'(t)={\frac {K_{PT1}\cdot u(t)-y(t)}{T_{1}}}}" loading="lazy"></td>

<td>IF-THEN-ELSE- Anweisung</td>

<td>Diskrete Zahlenwerte</td>

<td>=INDEX-Anweisung der Tabellenkalkulation =INDEX(D1:D1000;1000-Tt / h)

</td></tr>

<tr>

<td>Differenzengleichung der Vorw.-Differenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+[K_{PT1}\cdot u_{k}-y_{k}]\cdot {\frac {h}{T_{1}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+[K_{PT1}\cdot u_{k}-y_{k}]\cdot {\frac {h}{T_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02f90659433a570b2a33c772a245a73fec705318.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:33.3ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+[K_{PT1}\cdot u_{k}-y_{k}]\cdot {\frac {h}{T_{1}}}}" loading="lazy"></td>

<td>Beispiel: Sprung, Rücksprung Anweisung: =WENN(A1000<8;1;0). :=WENN A1000<8; DANN 1; SONST 0</td>

<td>Beispiel: Wertefolgen: Zahlen 0;0;0;2;5;8;11;...</td>

<td>Beispiel Modell: Nachbildung PT1-Glied 5. O. Zeitkonstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=T_{t}\ /\ 5}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=T_{t}\ /\ 5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/388f1029c87d90468d88aa000a55fb1753f98080.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.404ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T=T_{t}\ /\ 5}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>Differenzengleichung der Rückw.-Differenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k}=y_{k-1}+[K_{PT1}\cdot u_{k}-y_{k-1}]\cdot {\frac {h}{T_{1}+h}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}=y_{k-1}+[K_{PT1}\cdot u_{k}-y_{k-1}]\cdot {\frac {h}{T_{1}+h}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b7b92b29ae938aa9181e4f56b8b500432eb8989.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:39.58ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle y_{k}=y_{k-1}+[K_{PT1}\cdot u_{k}-y_{k-1}]\cdot {\frac {h}{T_{1}+h}}}" loading="lazy"></td>

<td>Beispiel Modell: Allpassglied 3. O.

</td></tr></tbody></table></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Gewöhnliche_Differenzialgleichungen_(Grundlagen)">Gewöhnliche Differenzialgleichungen (Grundlagen)</h3></div>

<ul><li>Gewöhnlich bedeutet, die gesuchte Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e871993bfd131a8b0c3591c26084cf8171a74dcd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.294ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(x)}" loading="lazy"> hängt nur von einer <a href="Variable_(Mathematik)" title="Variable (Mathematik)">Variablen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> ab. Die DGL enthält mindestens eine Ableitung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y^{(n)}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y^{(n)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f65cde6d84eef3ce0d8b363160340b88c6e67c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.658ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y^{(n)}}" loading="lazy"> von der gesuchten Funktion.</li></ul>

<ul><li><a href="Lineare_Differentialgleichung" class="mw-redirect" title="Lineare Differentialgleichung">Lineare Differenzialgleichung</a>: y(x) und Ableitungen davon dürfen nur in der 1. Potenz vorkommen und keine Winkelfunktionen enthalten.</li></ul>

<ul><li>Nichtlineare Differenzialgleichung: Die gesuchte Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e871993bfd131a8b0c3591c26084cf8171a74dcd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.294ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(x)}" loading="lazy"> und deren Ableitungen enthalten Potenzen höherer Ordnung oder Winkelfunktionen.</li></ul>

Diese DGL-en können je nach Ordnung leicht über Differenzengleichungen numerisch gelöst werden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Übertragungsfunktion_eines_dynamischen_Systems_(Grundlagen)">Übertragungsfunktion eines dynamischen Systems (Grundlagen)</h3></div>

Eine große Vereinfachung der Berechnung der Systeme ergibt sich dann, wenn die Lösung der Differentialgleichung nicht im Zeitbereich, sondern im Bildbereich (s-Bereich) mittels <a href="Laplace-Transformation" title="Laplace-Transformation">Laplace-Transformation</a> vorgenommen wird. Die Systemberechnung bezieht sich dann auf einfache algebraische Operationen. Voraussetzung ist, dass es sich bei dem System um ein <a href="LZI-System" class="mw-redirect" title="LZI-System">LZI-System</a> handelt und die Anfangsbedingungen Null sind.<a href="#cite_note-6">[6]</a>

Vorgegebene Übertragungsfunktionen können nach der inversen Laplace-Transformation in den ursprünglichen Zustand der DGL-en zurückgesetzt werden. Für die numerische Berechnung dynamischer Systeme werden Systembeschreibungen in Form von DGL-en benötigt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_der_Totzeit_Tt">Definition der Totzeit Tt</h3></div>

Eine Besonderheit ist das Totzeitsystem, dass nicht durch eine DGL beschrieben werden kann. Die numerische Berechnung bezieht sich auf eine Verschiebung der diskreten Folgen gegenüber einer Tabellenspalte z. B. der Systemeingangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{k=0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{k=0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e4008c8365bac908030cfbc15d414639192245e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.519ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{k=0}}" loading="lazy"> um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{t}\ /\ h}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{t}\ /\ h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18b135afb1f73d679446f62c5bb2d04f26ec079b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.846ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T_{t}\ /\ h}" loading="lazy"> Wertefolgen. Die INDEX-Anweisung der Tabellenkalkulation macht das automatisch und bezieht sich auf die zurückliegende Spalte der Eingangsgröße, wobei oberhalb der Spaltennummerierung z. B. C1000 keine alphanumerischen Einträge bis nahe an Spalte C0 stehen dürfen.

Totzeit-Modelle durch Annäherung mit PT1-Gliedern z. B. 5. Ordnung oder Allpassglieder 3. Ordnung sind möglich.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \to }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1daab843254cfcb23a643070cf93f3badc4fbbbd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \to }" loading="lazy"> siehe auch Artikel <a href="Totzeit_(Regelungstechnik)#Annäherung_an_das_Verhalten_eines_Totzeitgliedes_durch_PTn-Glieder_als_Ersatztotzeit" title="Totzeit (Regelungstechnik)">Totzeit (Regelungstechnik)#Annäherung an das Verhalten eines Totzeitgliedes durch PTn-Glieder als Ersatztotzeit</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Numerische_Lösung_einer_zeitabhängigen_Funktion,_die_nicht_mit_einer_DGL_beschrieben_werden_kann">Numerische Lösung einer zeitabhängigen Funktion, die nicht mit einer DGL beschrieben werden kann</h3></div>

Zahlreiche Anwendungsmodelle sind bekannt, deren Ausgangsgrößen sich auf die unabhängige Variable „Zeit“ beziehen, deren Zeitfolgen durch die Aufgabenstellung festgelegt ist. Die Dimension der Zeitachse hat entweder die Auflösung [s], [Std], [Jahre]. Die bedeutet, dass z. B. die Kapitalanlage von einem Anfangswert aus sich auf die Anzahl von Jahren bezieht. Diese Anzahl entspricht der Schrittweite h.

Darunter fallen die bekannten Aufgabenstellungen wie „Zinseszins“, „Bevölkerungswachstum“, „Flüssigkeitszufluss -Abfluss in Behältern“ und andere.

Diese numerischen Berechnungen sind exakt genau und lassen sich z. B. bei Kapitalanlagen mit der Gleichung der Zinseszinsberechnung leicht überprüfen.

Die numerische Standard-Lösung solcher Aufgaben lässt sich nach Euler-Vorwärts wie folgt berechnen. Bei der exponentiellen Folge wächst oder fällt jedes Folgeglied um einen relativen Anteil. (Beispiel: Zinseszins)

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k+1}=y_{k}\pm C\cdot y_{k}\cdot h=(1\pm C\cdot h)\cdot y_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a663ea67636eb036bc0dc289321ccd3179ab6cbb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.789ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y_{k+1}=y_{k}\pm C\cdot y_{k}\cdot h=(1\pm C\cdot h)\cdot y_{k}}" loading="lazy">

</th></tr></tbody></table>

Für einen derartigen Typ Differenzengleichung lässt sich der Wert einer beliebigen Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> direkt algebraisch aus dem Anfangswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d943dbbb0b56ca750c4d62c5b54b4ae29a773da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.193ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{0}}" loading="lazy"> berechnen.

Die zugehörige Gleichung als Folge mit dem Verlauf einer <a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> im Exponenten lautet:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}=(1\pm C\cdot h)^{k}\cdot y_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/acbc44a251d4432e9dcede91d0d0e04a4d4c88a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.884ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y_{k}=(1\pm C\cdot h)^{k}\cdot y_{0}}" loading="lazy">

</th></tr></tbody></table>

Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> eine Konstante und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> die Schrittweite.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Statische_Übertragungssysteme">Statische Übertragungssysteme</h3></div>

Die Anwendungen numerischer Berechnungen mit z. B.: [WENN-, DANN-, SONST]-Anweisungen haben kein Zeitverhalten und können deshalb nicht mit DGL-en berechnet werden.

Bei Verbindung der Anweisungen mit dynamischen Systemen muss die numerische Zuordnung der Folgen beider Systeme gegeben sein.

Das mathematische Modell eines statischen 3-Punktreglers mit Hysterese-Bereich und Totzone wurde numerisch mit 3 verschachtelten „WENN-, DANN-, SONST-Anweisungen“ erstellt. Der Hysteresebereich machte die Funktion einer positiven Rückführung erforderlich. Dieser Regler kann ohne Probleme in Verbindung mit einem numerisch berechneten Modell der Regelstrecke zu einem Regelkreis eingebunden werden. Dynamischen Systeme in der Regelstrecke bedeuten für das Verhalten des Regelkreises eine Näherungslösung.

Der Regler reagiert laut dem beigefügten Diagramm mit der Eingangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9837644700489d04d977da272524cd5fda36f3d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.418ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{k}}" loading="lazy"> = 0,1 bis −0,1 bei der gewählten Schrittweite z. B. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h=0{,}0005\ [s]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h=0{,}0005\ [s]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/550d114a42ab435ccaa4e4533357d678d2364792.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.861ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h=0{,}0005\ [s]}" loading="lazy"> in 400 Folgen.

Diese Anwendung mit logischen Anweisungen innerhalb von diskreten Folgen eines Gesamtsystems sind in der Berechnung exakt genau.

In Verbindung mit dynamischen Übertragungssystemen sind die numerischen Gesamtsystem-Berechnungen Annäherungen an die analytische Funktion des Gesamtsystems.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Berechnungsbeispiel_einer_Steuerstrecke_mit_einem_Totzeitsystem_Tt_und_4_PT1-Gliedern_in_Reihe">Berechnungsbeispiel einer Steuerstrecke mit einem Totzeitsystem Tt und 4 PT1-Gliedern in Reihe</h2></div>

Die 4 PT1-Glieder befinden sich mit dem Totzeitglied in Reihe, wobei jede Ausgangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/397de1edef5bf2ee15c020f325d7d781a3aa7f50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.804ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(t)}" loading="lazy"> die Eingangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b375df3b65d282f8715835dc91ccb22f46993959.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(t)}" loading="lazy"> des nachfolgenden Systems ist.

Gegeben:

<ul><li>Schrittweite der Folgeglieder: h = 0,01 [s] gewählt.</li>

<li>Eingangssignal: Normierter Ansprung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{k}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{k}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8105613ee2fef6a4cec802408d71d4b0ed8bbf3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.679ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle u_{k}=1}" loading="lazy"> bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{k}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{k}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/984eac1b677a6160787572c693771cb90cc77043.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.189ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle t_{k}=0}" loading="lazy"> [s] und Rücksprung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{k}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{k}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a8de87c89b67129e98be994c827e2b9574f6668.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.679ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle u_{k}=0}" loading="lazy"> bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{k}=8}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{k}=8}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d1dcff9c06b00f19746d2d2f06acf5d180aacfa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.189ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle t_{k}=8}" loading="lazy"> [s]</li></ul>

<dl><dd>Zugehörige Logik: Start in Spalte C1000: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =WENN(C1000<8;1;0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =WENN(C1000<8;1;0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c7cd054afcf3db7aaa00b00b6d2c8f83ae39050.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.671ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle =WENN(C1000<8;1;0)}" loading="lazy"></dd></dl>

<ul><li>Totzeitglied: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{t}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8e8402d1ca8a7b2544de9e83db1c7580d80f6b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.184ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{t}}" loading="lazy"> = 2 [s]; Start in Spalte D1000. Anweisung bezieht sich auf Daten der Spalte C1000.</li></ul>

<dl><dd>INDEX-Anweisung: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =INDEX(D1:D1000;1000-Tt/h)=INDEX(D1:D1000);1000-2/0,01}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =INDEX(D1:D1000;1000-Tt/h)=INDEX(D1:D1000);1000-2/0,01}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7ad5c8f2310fd98ae5149daa5e0f7872b44d7a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:79.069ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle =INDEX(D1:D1000;1000-Tt/h)=INDEX(D1:D1000);1000-2/0,01}" loading="lazy">:</dd></dl>

<ul><li>Zeitglieder: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle PT1_{1},PT1_{2},PT1_{3},PT1_{4}.\qquad {\text{Zeitkonstanten}}\ je\ T1=1[s]}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mtext>Zeitkonstanten</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle PT1_{1},PT1_{2},PT1_{3},PT1_{4}.\qquad {\text{Zeitkonstanten}}\ je\ T1=1[s]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71da696930a98a721b9aa3a0f64a52637e980ccb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:59.013ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle PT1_{1},PT1_{2},PT1_{3},PT1_{4}.\qquad {\text{Zeitkonstanten}}\ je\ T1=1[s]}" loading="lazy">.</li>

<li>Differenzengleichung PT1-Glied mit Rückwärts-Differenzenquotient:</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mtext>Anfangswert</mtext>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mtext>Schrittweite</mtext>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}=y_{k-1}+[K_{PT1}\cdot u_{k}-y_{k-1}]\cdot {\frac {h}{T_{1}+h}}.\qquad \qquad y_{k=0}={\text{Anfangswert}}=0;\ y_{k-1}\ {\text{für k = 0}}\ =0;\ h=0,01[s]={\text{Schrittweite}};\ K_{PT1}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f7624ca50480cd4aa181733ebdd847fe235881f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:134.375ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle y_{k}=y_{k-1}+[K_{PT1}\cdot u_{k}-y_{k-1}]\cdot {\frac {h}{T_{1}+h}}.\qquad \qquad y_{k=0}={\text{Anfangswert}}=0;\ y_{k-1}\ {\text{für k = 0}}\ =0;\ h=0,01[s]={\text{Schrittweite}};\ K_{PT1}=1}" loading="lazy"></dd></dl>

Beispiel numerische Lösung des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle PT1_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle PT1_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d413d1df6b50595cf2783453d7423a5125b421c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.598ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle PT1_{1}}" loading="lazy">-Gliedes mit Zahlenwerten in Spalte E: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ t_{k}=2\ [s];\ k=200;\ u_{k}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ t_{k}=2\ [s];\ k=200;\ u_{k}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0e1c2fe3ab06679b2f9bec5a48976e0f80e7b95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.44ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ t_{k}=2\ [s];\ k=200;\ u_{k}=1}" loading="lazy">.

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k=200}=y_{k=199}+[u_{k=200}-y_{k=199}]\cdot {\frac {0{,}01}{1+0{,}01}}=0{,}0+[1-0]\cdot 0{,}0099=0{,}0099}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab2d21a83259ca83de2840418c973a4539ce7d1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:77.871ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle y_{k=200}=y_{k=199}+[u_{k=200}-y_{k=199}]\cdot {\frac {0{,}01}{1+0{,}01}}=0{,}0+[1-0]\cdot 0{,}0099=0{,}0099}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k=201}=y_{k=200}+[u_{k=201}-y_{k=200}]\cdot {\frac {0{,}01}{1+0{,}01}}=0,0099+[1-0{,}0099]\cdot 0{,}0099=0{,}0197}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae78014e2854bbb9454c18441bdfc7e1797b3334.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:87.042ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle y_{k=201}=y_{k=200}+[u_{k=201}-y_{k=200}]\cdot {\frac {0{,}01}{1+0{,}01}}=0,0099+[1-0{,}0099]\cdot 0{,}0099=0{,}0197}" loading="lazy"></dd></dl>

Die nachfolgende Tabelle mit den Folgedaten stellt das diskrete Zeitverhalten nur bis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{k}=8,01}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{k}=8,01}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80f3616c88578b5be174616de7bb23fa24ae6622.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.548ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle t_{k}=8,01}" loading="lazy"> [s] dar.

<th>Spalte</th>

<th>A Folge k </th>

<th>B Zeit- folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{k}[s]}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{k}[s]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22231afe2859b7d3938e861e945cecefd2d978d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.312ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t_{k}[s]}" loading="lazy"></th>

<th>C Eingang Sprung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9837644700489d04d977da272524cd5fda36f3d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.418ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{k}}" loading="lazy"></th>

<th>D Totzeit Log.0; Log.1</th>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle PT1_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d413d1df6b50595cf2783453d7423a5125b421c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.598ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle PT1_{1}}" loading="lazy">-Glied Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4bed170cda379469993ac4c618a840af6750bd0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.05ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k1}}" loading="lazy"></th>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle PT1_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b57fea23944c7d72f0ba442e006054385096501f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.598ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle PT1_{2}}" loading="lazy">-Glied Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa51f1509fedeef61cb5a73f83939a1300f7836c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.05ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k2}}" loading="lazy"></th>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle PT1_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/25c0d0fe03db944d40da1a7b58748357a85784d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.598ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle PT1_{3}}" loading="lazy">-Glied Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f66304acbef626841f126c26074c6d7ec9e13271.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.05ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k3}}" loading="lazy"></th>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle PT1_{4}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c595278745886ff1479d3a69f7de002703914300.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.598ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle PT1_{4}}" loading="lazy">-Glied Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k4}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k4}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e37559db5b1477a494b0c1736a7e06c59d6f298c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.05ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k4}}" loading="lazy">

</th></tr>

<tr>

<td>0,0

</td></tr>

<tr>

<td>0,0

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>0,0

</td></tr>

<tr>

<td>0,0

</td></tr>

<tr>

<td>0,0

</td></tr>

<tr>

<td>0,0

</td></tr>

<tr>

<td>0,0

</td></tr>

<tr>

<td>0,0

</td></tr>

<tr>

<td>0,0

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>0,8484

</td></tr>

<tr>

<td>0,8492

</td></tr></tbody></table>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \to }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1daab843254cfcb23a643070cf93f3badc4fbbbd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \to }" loading="lazy"> siehe auch Artikel <a href="Differenzengleichung_(Differenzenverfahren)" title="Differenzengleichung (Differenzenverfahren)">Differenzengleichung (Differenzenverfahren)</a>.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \to }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1daab843254cfcb23a643070cf93f3badc4fbbbd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \to }" loading="lazy"> siehe auch Artikel <a href="Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik">Numerische Mathematik</a>.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \to }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1daab843254cfcb23a643070cf93f3badc4fbbbd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \to }" loading="lazy"> siehe auch Artikel <a href="Gew%C3%B6hnliche_Differenzialgleichung" class="mw-redirect" title="Gewöhnliche Differenzialgleichung">Gewöhnliche Differenzialgleichung</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Andreas Meister, Thomas Sonar: Numerik: Eine lebendige und gut verständliche Einführung mit vielen Beispielen. 1. Auflage. Springer Spektrum, 2018, ISBN 978-3-662-58357-9.</li>

<li>Bilen Emek Abali, Celal Cakiroglu: Numerische Methoden für Ingenieure, mit Anwendungsbeispielen in Python. Springer Vieweg, 2020, ISBN 978-3-662-61324-5.</li>

<li>Jürgen Koch, Martin Stämpfle: Mathematik für das Ingenieurstudium. 4. Auflage. Carl Hanser Verlag, München 2018, ISBN 978-3-446-45166-7.</li>

<li>H.R. Schwarz, N. Klöckner: Numerische Mathematik, Studium, 8. aktualisierte Auflage 2011, Vieweg + Teubner, ISBN 978-3-8348-1551-4.</li>

<li>Holger Lutz, <a href="Wolfgang_Wendt" title="Wolfgang Wendt">Wolfgang Wendt</a>: Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink. Verlag Europa-Lehrmittel. 12., ergänzte Auflage 2019. ISBN 978-3-8085-5870-6.</li>

<li><a href="Donald_E._Knuth" title="Donald E. Knuth">Donald E. Knuth</a>: The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms, 3rd ed., Addison-Wesley 1998, ISBN 0-201-89684-2.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> H. Schwarz; Einführung in die moderne Systemtheorie, Vieweg, Berlin, 1969, "Einleitung", ISBN 978-3-322-96127-3

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Bilen Emek Abali, Celal Cakiroglu: Numerische Methoden für Ingenieure, mit Anwendungsbeispielen in Python. Springer Vieweg, 2020, Hauptkapitel: "Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen"

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Lutz / Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink; Verlag: Europa-Lehrmittel, 42781 Haan Gruiten; 12., ergänzte Auflage 2021, Hauptkapitel: "Elemente des Wirkungs- und Signalflussplans"

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Lutz / Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink; Verlag Europa-Lehrmittel, 42781 Haan Gruiten; 12., ergänzte Auflage 2021, Hauptkapitel: "Entwicklung mathematischer Modelle für die Regelungstechnik"

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Jürgen Dankert; Fachbuchreihe: Numerische Methoden der Mechanik, Einzelfachbuch: „Das Differenzenverfahren“, Springer Vieweg, Berlin, Auszug-Übersicht „Der Grundgedanke des Verfahrens besteht darin, die Differenzialquotienten in Differenzialgleichungen und Randbedingungen durch Differenzenquotienten zu ersetzen.“

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Lutz / Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink; Hauptkapitel: Übertragungsfunktionen von Regelkreiselementen.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-04-07" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Seminumerischer_Algorithmus&oldid=254925631">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>